一個簡單的數(shù)學(xué)小魔術(shù)

魔術(shù)小煜

在一張紙上并排畫 11 個小方格。叫你的好朋友背對著你（確保你看不到他在紙上寫什么），在前兩個方格中隨便填兩個 1 到 10 之間的數(shù)。從第三個方格開始，在每個方格里填入前兩個方格里的數(shù)之和。讓你的朋友一直算出第 10 個方格里的數(shù)。假如你的朋友一開始填入方格的數(shù)是 7 和 3 ，那么前 10 個方格里的數(shù)應(yīng)該是

7

3

10

13

23

36

59

95

154

249

現(xiàn)在，叫你的朋友報出第 10 個方格里的數(shù)，你只需要在計算器上按幾個鍵，便能說出第 11 個方格里的數(shù)應(yīng)該是多少。你的朋友會非常驚奇地發(fā)現(xiàn)，把第 11 個方格里的數(shù)計算出來，所得的結(jié)果與你的預(yù)測一模一樣！這就奇怪了，在不知道頭兩個數(shù)是多少的情況下，只知道第 10 個數(shù)的大小，不知道第 9 個數(shù)的大小，怎么能猜對第 11 個數(shù)的值呢？

魔術(shù)揭秘：只需要除以 0.618

其實(shí)，僅憑借第 10 個數(shù)來推測第 11 個數(shù)的方法非常簡單，你需要做的僅僅是把第 10 個數(shù)除以 0.618，得到的結(jié)果四舍五入一下就是第 11 個數(shù)了。在上面的例子中，由于 249÷0.618 = 402.913.. ≈ 403，因此你可以胸有成竹地斷定，第 11 個數(shù)就是 403。而事實(shí)上，154 與 249 相加真的就等于 403。把頭兩個方格里的數(shù)換一換，結(jié)論依然成立：

2

9

11

20

31

52

82

133

215

348

可以看到，第 11 個數(shù)應(yīng)該為 215+348 = 563，而 348 除以 0.618 就等于 563.107..，與實(shí)際結(jié)果驚人地吻合。這究竟是怎么回事兒呢？

魔術(shù)原理：溶液調(diào)配的啟示

不妨假設(shè)你的好朋友最初在紙上寫下的兩個數(shù)分別是 a 和 b 。那么，這 11 個方格里的數(shù)分別為：

a

b

a+b

a+2b

2a+3b

3a+5b

5a+8b

8a+13b

13a+21b

21a+34b

34a+55b

接下來，我們只需要說明，21a+34b 除以 34a+55b 的結(jié)果非常接近 0.618 即可。

讓我們來考慮另一個看似與此無關(guān)的生活小常識：兩杯濃度不同的鹽水混合在一起，調(diào)配出來的鹽水濃度一定介于原來兩杯鹽水的濃度之間。換句話說，如果其中一杯鹽水的濃度是 a/b，另一杯鹽水的濃度是 c/d，那么 (a+c)/(b+d) 一定介于 a/b 和 c/d 之間。

因此，(21a+34b)/(34a+55b) 就一定介于 21a/34a 和 34b/55b 之間。而 21a/34a = 21/34 ≈ 0.6176，34b/55b = 34/55 ≈ 0.6182，可見不管 a 和 b 是多少，(21a+34b)/(34a+55b) 都被夾在了 0.6176 和 0.6182 之間。如果 a 和 b 都不大，用 21a+34b 的值除以 0.618 來推測 34a+55b 是相當(dāng)靠譜的。

有的讀者可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，0.618 不是別的數(shù)，正是神秘的黃金分割；而上表中出現(xiàn)的系數(shù) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 正是傳說中的斐波那契數(shù)列。算術(shù)中最富神秘色彩的兩個概念在此交織，看來這個簡單小魔術(shù)的來頭并不簡單啊。

xyz200902

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